多学科优化里的 MDF 和 IDF

设计飞机要好几个学科一起算。气动算升力和功率，动力选电机和电池，结构估机体重量，而每个学科的输入都来自别的学科的输出。多学科设计优化（MDO）研究的就是怎么让这些互相依赖的计算一起收敛到最好的设计。这篇用我在密歇根大学 MDO 课上的一份作业，讲其中最基本的两种架构，MDF 和 IDF。

重量螺旋

作业的对象是一架双座电动多旋翼，目标是在满足功率和电量要求的前提下，让起飞重量尽量轻。

难点在于重量会自己往上滚。悬停功率大约和总质量的 1.5 次方成正比，飞机重了，需要的功率涨得更快；功率大了，电机和电池也要更重；结构质量按起飞重量的 30% 估算，又跟着变重。算下来每多装 1 公斤电池，整机要重大约 1.43 公斤。质量决定功率，功率又反过来决定质量，两边的数必须对上。

MDF：先对齐再交方案

可以把优化器想成老板，各学科是部门。MDF（多学科可行）的做法是，老板每提一个设计方案，各部门先内部反复迭代，直到质量和功率的数字吻合，再把结果交上去。

这样老板看到的每个方案在物理上都成立，中途停下来也有一个能用的设计，要管的变量也少。缺点是每个方案背后都有一轮内部迭代，分析越慢，每一步就越慢；内部迭代不收敛的话，整个优化就卡住了。作业里 MDF 用牛顿法做内部迭代，每一步都把质量和功率之间的误差压到 10⁻⁹ 以下。

IDF：各算各的，最后对账

IDF（单学科可行）换了一种做法。老板先给大家一个假设的总质量，各部门拿这个数分头计算，不用互相等，可以并行，同时加一条约束：假设的质量最后必须等于算出来的质量。

没有内部迭代，各学科互相独立，分工和拼装模块都更方便。代价是优化变量和约束变多，一般要多迭代几轮，而且优化过程中的方案在物理上并不自洽。

为了看 IDF 稳不稳，我故意从一个很离谱的起点开始：假设总质量 3000 公斤，实际算出来只有 500 公斤左右。优化过程中，两者的差距从 10³ 量级一路降到了 10⁻¹⁰。

优化器会钻空子

如果那条对账约束写得不够严，IDF 的优化器会找到一条捷径：假设一个很轻的质量，不管实际算出来有多重，比如假设 500 公斤、实际 1000 公斤，然后报告找到了一个很轻的设计。优化器只按写下来的目标和约束做事，约束漏掉的地方它就会去利用。给 AI 定目标时也一样。

结果

两种架构最后收敛到同一个最优解，538.44 公斤。选 MDF 还是 IDF 不影响答案，差别在计算代价和实现的灵活性上：MDF 需要的优化迭代更少，IDF 更方便把学科拼在一起。

两种优化算法的对比也类似。梯度法 SLSQP 每一步都知道哪个方向下降最快，14 次迭代就收敛了；无梯度的 COBYLA 只能在周围试探方向，用了 19 次。

简单模型在哪里出错

作业最后比较了两个模型，一个只算悬停，一个包含爬升和下降等阶段的完整任务剖面。两者算出的整机质量只差 0.5% 左右（538.44 和 541.35 公斤），驱动电机的质量却差了约 30%（16.35 和 21.32 公斤），因为简单模型只按悬停选电机，而真实任务里垂直爬升需要的峰值功率更高。

只看整机质量，会觉得简单模型够用了；按它去选电机，飞机爬升时可能功率不够。这是这份作业里我印象最深的一点：模型的总数算得准，某个部件照样可能算错。

数量级

质量是几百公斤，能量是几千万焦耳。直接把这些数交给优化器，能量那一项的梯度会盖过其他所有项。解决办法是给每个变量设一个参考值做缩放，让它们都在 1 左右。优化不收敛的时候，原因有时就是变量之间的数量级差得太远。

完整报告在项目页。

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